일반 Activity와 AppCompatActivity의 차이가 무엇인가요?

AppCompatActivity는 안드로이드 하위버전을 지원하는 액티비티입니다.
Activity API 를 보시면 dispatchKeyShortcutEvent 오른쪽옆에 API level들이 표시되어있습니다.
API level 11(안드로이드 3.0)라고 적혀있는데요. dispatchKeyShortcutEvent 이 메소드는 3.0미만의 단말기에서는 실행이 안됩니다. 그래서 이런 메소드를 지원하기 위해서 AppCompatActivity가 나온거에요.
액션바역시 3.0이후에 나온 기능이라 3.0미만의 단말기에서는 동작할수 없기때문에 AppCompatActivity를 사용합니다. Support Library에 있는 클래스들은 안드로이드 하위버전을 지원하기 위해 존재합니다.

만드시는 앱이 안드로이드 버전 몇 이상부터 지원할지에 따라서 Support Library를 사용하시면됩니다.
예를 들어 안드로이드 4.0 이상부터 지원하겠다고 하면 AppCompatActivity을 쓸 이유가 없습니다. 그냥 Activity를 쓰면 됩니다.