확률과 켈리 공식으로 의사결정을 다르게 만드는 법
오늘은 여러분에게 수학을 통해 인생을 변화시키는 강력한 방법론인 확률과 켈리 공식(Kelly Criterion)에 대해 설명드리려 합니다. 이 개념을 잘 이해하고 적용한다면 비단 도박이나 게임뿐만 아니라 비즈니스, 투자, 일상에서 합리적이고 이성적인 결정을 내리는 데 큰 도움이 될 것입니다. 실제 사례와 함께 간단한 예시들을 통해 왜 확률적 사고가 중요한지 살펴보겠습니다.
1. 확률에 따른 배팅의 기본 원리
우선, 확률과 기댓값에 관한 간단한 예시로 이야기를 시작해보겠습니다. 동전 던지기 게임을 상상해 보세요. 동전을 던져 앞면이 나오면 판돈의 두 배를 받고, 뒷면이 나오면 0.4배만 돌려받는 게임입니다. 이 게임의 결과는 무작위로 나오지만, 기대할 수 있는 평균 수익을 계산해보면 장기적으로 이익이 발생함을 알 수 있습니다.
• 게임의 기댓값 계산: 예를 들어, 10만원을 걸었을 때 절반의 확률로 10만원을 따고, 절반의 확률로 6만원을 잃는다고 해봅시다. 이때 기댓값은 1/2 확률로 10만원을 얻고, 1/2 확률로 -6만원을 잃으므로, 2만원을 기대할 수 있습니다. 즉, 게임을 반복할수록 평균적으로 이익이 쌓이는 구조입니다.
하지만, 여기서 중요한 점은 판돈을 전부 베팅하는 ‘풀베팅’ 전략입니다. 판돈을 모두 걸면 한 번에 얻을 수 있는 수익은 커지지만, 동시에 매우 높은 확률로 손실을 입게 됩니다. 장기적으로 보았을 때는 안정적인 이익을 위해 일정 비율을 걸어야 하며, 이는 확률적 사고의 중요성을 보여주는 기본적인 예입니다.
2. 확률과 통계의 원리: 대수의 법칙과 정규분포
이제 확률과 통계에 대해 좀 더 깊이 들어가 보겠습니다. 앞서 언급한 동전 던지기 게임에서, 동전을 수백 번, 수천 번 던질 경우에도 어떤 패턴이 생길 수 있는지 대수의 법칙과 정규분포를 통해 알아봅시다.
• 대수의 법칙과 정규분포: 동전을 100번 던진다면 평균적으로 50번은 앞면, 50번은 뒷면이 나올 확률이 높습니다. 이러한 분포는 정규분포로 나타낼 수 있으며, 대수의 법칙에 의해 동전을 던지는 횟수가 많아질수록 결과가 평균에 수렴하게 됩니다. 예를 들어, 100번 던지면 앞면이 나올 확률은 평균적으로 50%이며, 플러스 마이너스 10번 정도의 오차 내에서 95%의 확률로 결과가 나타납니다. 이는 통계적으로 이항분포가 정규분포로 근사된다는 것을 의미합니다.
• 극단적 확률의 이해: 만약 동전을 1000번 던진다면 앞면이 470에서 530 사이에 들어올 확률이 매우 높습니다. 하지만, 극단적으로 앞면이 300번 이하 나올 확률은 거의 0에 가깝습니다. 이처럼 통계적 분포를 이해하면 어떤 사건이 일어날 확률이 얼마나 작은지, 혹은 큰지를 쉽게 파악할 수 있습니다.
3. 켈리 공식 (Kelly Criterion): 최적의 배팅 비율 찾기
확률과 기댓값에 대한 이해를 바탕으로 이제 켈리 공식(Kelly Criterion)이라는 개념을 소개하겠습니다. 켈리 공식은 게임, 투자 등의 반복적인 결정 상황에서 수익을 최대로 하기 위해 자산의 최적 비율을 찾아주는 공식입니다.
켈리 공식의 핵심은 확률적 이익을 최대로 유지하면서도 리스크를 줄이는 배팅 비율을 계산하는 데 있습니다. 단순히 모든 자산을 걸어 한 번에 모든 수익을 노리는 것이 아닌, 장기적인 성장 가능성을 염두에 둔 전략입니다.
• 풀베팅의 위험성: 만약 전체 자산을 모두 걸었다가 잃으면, 그 후에는 베팅할 자산 자체가 없어집니다. 반면, 켈리 공식은 자산의 일정 비율만을 계속해서 베팅하여 잃더라도 자산의 일부를 남기며 손실의 위험을 줄일 수 있습니다.
• 예제: 켈리 공식의 수식: 간단히 켈리 공식을 설명하자면, 승률이 p, 배당률이 b라 할 때 최적의 배팅 비율 f는 다음과 같습니다.
여기서 입니다. 이 비율로 자산을 배팅하면 장기적으로 지수적인 수익을 기대할 수 있습니다.
예를 들어, 앞면이 나오면 두 배를 받고 뒷면이 나오면 0.4배만 돌려받는 게임에서 켈리 공식을 계산해 보면 자산의 약 1/3만 베팅하는 것이 최적이라는 결과를 얻습니다. 이를 통해 게임을 반복할수록 자산의 기하급수적 성장이 가능해집니다.
4. 켈리 공식의 실제 적용: 루미큐브 게임에서의 사례
켈리 공식이 현실에서 어떻게 적용될 수 있는지 제 개인적인 사례를 들어 설명하겠습니다. 평소 저는 루미큐브라는 게임을 즐기며, 4명이 함께 1등이 판돈을 독식하는 구조로 게임을 진행합니다. 이때, 제 평균 승률은 약 30% 정도입니다. 이는 켈리 공식을 적용하여 배팅 비율을 결정하기에 좋은 조건입니다.
• 게임머니의 최적 배팅 비율 찾기: 초기 자산이 1000원이라고 가정하고 켈리 공식을 통해 최적의 배팅 비율을 계산하면 자산의 약 1/15 비율로 배팅하는 것이 이상적입니다. 이 비율로 배팅하면 열 번의 게임에서 약 6.6%의 수익을 기대할 수 있습니다. 이 비율을 유지하면 꾸준히 자산이 늘어날 수 있습니다.
• 배팅 비율의 중요성: 만약 켈리 공식을 무시하고 전체 자산의 1/5 또는 1/3을 걸었다면, 열 번의 게임 후에는 오히려 손실이 발생했을 가능성이 큽니다. 즉, 배팅 비율이 약간만 달라져도 자산의 증가 속도는 큰 차이를 보입니다.
5. 확률적 사고의 중요성: 교통사고 확률과 일상 속 의사결정
마지막으로 확률적 사고가 삶에 어떻게 영향을 미치는지 살펴보겠습니다. 도박이나 게임을 하지 않더라도 우리는 매일 확률에 근거한 의사결정을 해야 하는 상황에 놓이게 됩니다. 예를 들어, 평균적인 운전자는 12년에 한 번 교통사고를 경험한다는 통계를 본 적이 있습니다. 만약 연간 100일 운전한다면, 매번 운전할 때마다 1200분의 1의 확률로 사고가 발생할 수 있다는 뜻입니다.
하지만, 특정 상황에서 법규를 위반하거나 안전 수칙을 무시하면 사고 확률이 높아질 수 있습니다. 이런 습관이 반복되면 1200분의 1의 확률이 500분의 1, 심지어 300분의 1로 증가할 수 있습니다. 확률적 사고방식을 이해한다면 이런 행동이 장기적으로 어떤 결과를 초래할지 더 잘 알 수 있습니다.
결론: 수학을 통한 삶의 방향 설정
오늘 살펴본 확률과 켈리 공식은 단순히 게임을 넘어 일상에서 합리적이고 전략적인 결정을 내리는 데 필요한 중요한 도구입니다. 확률적 사고방식은 경험적 오류에 휘둘리지 않고, 논리적이고 이성적인 판단을 할 수 있는 토대를 마련해 줍니다. 이런 방식으로 꾸준히 올바른 결정을 내리면, 장기적으로 더 나은 삶의 질을 추구할 수 있습니다.
이러한 수학적 사고가 여러분의 삶에도 변화를 가져다주기를 바랍니다.